Question

函数f（x）=2x2-ax-3是偶函数．
（1）试确定a的值，及此时的函数解析式；
（2）证明函数f（x）在区间（-∞，0）上是减函数；
（3）当x∈[-2，0]时，求函数f（x）=2x2-ax-3的值域．

Answer 1

考点：幂函数图象及其与指数的关系,幂函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）是偶函数，f（-x）=f（x），求出a=0；
（2）用定义证明f（x）在（-∞，0）上是减函数；
（3）由（2）得，根据f（x）在[-2，0]的单调性，求出f（x）在[-2，0]上的值域．

解答： 解：（1）∵f（x）是偶函数，
∴f（-x）=f（x），
即2(-x)2-a(-x)-3=2x2-ax-3，
∴x²+ax-3=x²-ax-3；
∴a=0，
∴f（x）=2x2-3；
（2）证明：任取x₁、x₂∈（-∞，0），且x₁＜x₂；
∴

f(x1)

f(x2)

=

2x12-3

2x22-3

=2(x1+x2)(x1-x2)；
∵x₁＜x₂＜0，
∴x₁+x₂＜0，x₁-x₂＜0，
∴（x₁+x₂）（x₁-x₂）＞0，
∴

f(x1)

f(x2)

＞1，即f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）在（-∞，0）上是减函数；
（3）由（2）知，f（x）在（-∞，0）上是减函数；
∴当x∈[-2，0]时，f（-2）=2(-2)2-3=2，f（0）202-3=

1

8

；
∴函数f（x）在[-2，0]上的值域是[

1

8

，2]．

点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，单调性的证明，以及利用函数的单调性求函数值域的问题，是综合题．