【题目】在锐角△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C所对的边,且
(1)确定∠C的大小;
(2)若c= ,求△ABC周长的取值范围.
【答案】
(1)解:由 a=2csinA,
由正弦定理,得 sinA=2sinCsinA,
又sinA≠0,
则sinC= ,
∴∠C=60°或∠C=120°,
∵△ABC为锐角三角形,
∴∠C=120°舍去.
∴∠C=60°
(2)解:∵c= ,sinC=
∴由正弦定理得: ,
即a=2sinA,b=2sinB,
又A+B=π﹣C= ,即B= ﹣A,
∴a+b+c=2(sinA+sinB)+
=2[sinA+sin( ﹣A)]+
=2(sinA+sin cosA﹣cos sinA)+
=3sinA+ cosA+
=2 (sinAcos +cosAsin )+
=2 sin(A+ )+ ,
∵△ABC是锐角三角形,
∴ <∠A< ,
∴ <sin(A+ )≤1,
则△ABC周长的取值范围是(3+ ,3 ]
【解析】(1)由正弦定理进行边角互化,求出sinC=,由于三角形ABC为锐角三角形,故∠C=60°,(2)根据正弦定理进行边角互化,得出a=2sinA,b=2sinB,由辅助角公式和两角差的正弦公式进行化简,结合正弦公式即可得到△ABC周长的取值范围.
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【题目】某中学为提升学生的英语学习能力,进行了主题分别为“听”、“说”、“读”、“写”四场竞赛.规定:每场竞赛的前三名得分分别为, , (,且, , ),选手的最终得分为各场得分之和.最终甲、乙、丙三人包揽了每场竞赛的前三名,在四场竞赛中,已知甲最终分为分,乙最终得分为分,丙最终得分为分,且乙在“听”这场竞赛中获得了第一名,则“听”这场竞赛的第三名是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 甲和丙都有可能
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【题目】在发生某公共卫生事件期间,有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天,每天新增疑似病例不超过7人”。根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据,一定符合该标志的是 ( )
A. 甲地:总体均值为3,中位数为4
B. 乙地:总体均值为1,总体方差大于0
C. 丙地:中位数为2,众数为3
D. 丁地:总体均值为2,总体方差为3
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【题目】已知, 为两条不同的直线, , 为两个不同的平面,对于下列四个命题:
①, , , ②,
③, , ④,
其中正确命题的个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
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【题目】已知函数f(x)=aln(x+1)+ x2﹣x,其中a为非零实数.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若y=f(x)有两个极值点x1 , x2 , 且x1<x2 , 求证: < .
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【题目】定义数列,如果存在常数,使对任意正整数,总有,那么我们称数列为“—摆动数列”.
()设, , ,判断数列, 是否为“—摆动数列”,并说明理由;
(2)已知“—摆动数列”满足: ,求常数的值.
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【题目】有下列命题:
①函数的图象与的图象恰有个公共点;
②函数有个零点;
③若函数与的图像关于直线对称,则函数与的图象也关于直线对称;
④函数的图象是由函数的图象水平向右平移一个单位后,将所得图象在轴右侧部分沿轴翻折到轴左侧替代轴左侧部分图象,并保留右侧部分而得到的.其中错误的命题有___________.(填写所有错误的命题的序号)
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【题目】设函数f(x)=|x-1|+|2x-1|.
(Ⅰ)若对 x>0,不等式f(x)≥tx恒成立,求实数t的最大值M;
(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下,正实数a,b满足a2+b2=2M.证明:a+b≥2ab.
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