Question

已知函数f（x）=x²+ax+b（a，b∈R）．
（1）当x∈[-1，1]时，求f（x）的最大值为M；
（2）若对于任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，求b的取值范围；
（3）若对于x∈[1，3]，f（x）＞-5+b恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数的最值及其几何意义,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知得f(x)=(x+

a

2

)2-

a2

4

+b，对称轴为直线x=-

a

2

，由此能求出f（x）的最大值为M．
（2）由已知得x²+（a-2）x+b-a＞0，从而△=（a-2）²-4（b-a）＜0恒成立，由此能求出b的取值范围．
（3）由已知得a＞

-x2-5

x

，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=x²+ax+b（a，b∈R），
∴f(x)=(x+

a

2

)2-

a2

4

+b，对称轴为直线x=-

a

2

，
∴当a＜0时，M=f（-1）=1-a+b；
当a≥0时，M=f（1）=1+a+b．…（5分）
（2）对于任意的实数x，都有f（x）≥2x+a，
即对任意的实数x，都有x²+ax+b≥2x+a，
整理得x²+（a-2）x+b-a＞0，
∴△=（a-2）²-4（b-a）＜0恒成立，b＞

a2+4

4

≥1，
∴b∈[1，+∞）．…（10分）
（3）依题意，即对于x∈[1，3]，x²+ax+b＞-5+b恒成立，
即分离参数为a＞

-x2-5

x

，
∵

-x2-5

x

=-(x+

5

x

)≤-2

5

，
当且仅当x=

5

时，取“=”号，
∴a的取值范围为（-2

5

，+∞）．

点评：本题考查函数的最大值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．