Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC=CD=$\frac{1}{2}$AD，E为AD的中点．
（Ⅰ）求证：PA⊥CD；
（Ⅱ）求证：平面PBD⊥平面PAB；
（Ⅲ）在平面PAB内是否存在M，使得直线CM∥平面PBE，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用面面垂直的性质，证明：PA⊥平面ABCD，即可证明PA⊥CD；
（Ⅱ）证明BD⊥平面PAB，即可证明：平面PBD⊥平面PAB；
（Ⅲ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点．利用线线平行证明直线CM∥平面PBE．

解答 证明：（Ⅰ）因为平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，
又因为PA⊥AB，
所以PA⊥平面ABCD．
则PA⊥CD．             …（5分）
（Ⅱ）由已知，BC∥ED，且BC=ED，所以四边形BCDE是平行四边形，
又CD⊥AD，BC=CD，所以四边形BCDE是正方形，
连接CE，所以BD⊥CE，
又因为BC∥AE，BC=AE，
所以四边形ABCE是平行四边形，
所以CE∥AB，则BD⊥AB．
由（Ⅰ）知PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD，
又因为PA∩AB=A，
则BD⊥平面PAB，
且BD?平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAB．…（10分）
（Ⅲ）在梯形ABCD中，AB与CD不平行．延长AB，DC，相交于点M（M∈平面PAB），点M即为所求的一个点．理由如下：由已知，BC∥ED，且BC=ED．
所以四边形BCDE是平行四边形，所以CD∥EB，即CM∥EB，
又EB?平面PBE，CM?平面PBE，
所以CM∥平面PBE．…（14分）

点评 本题考查线面、面面垂直的证明，考查线面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．