Question

已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l₁:x+y+1=0,l₂:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.

Answer 1

直线l的方程为x=3或y=1.

方法一 若直线l的斜率不存在，
则直线l的方程为x=3,此时与l₁,l₂的交点分别是
A（3，-4），B（3，-9），
截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意.                                       4分
若直线l的斜率存在时，
则设直线l的方程为y=k(x-3)+1,
分别与直线l₁,l₂的方程联立，
由,
解得A.                                                        8分
由,解得B,
由两点间的距离公式，得
+=25，
解得k=0,即所求直线方程为y="1.                                        "     10分
综上可知，直线l的方程为x=3或y="1.                                   "     12分
方法二 设直线l与l₁,l₂分别相交于A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),
则x₁+y₁+1=0,x₂+y₂+6=0,
两式相减，得(x₁-x₂)+(y₁-y₂)="5                  " ①                          6分
又(x₁-x₂)²+(y₁-y₂)²="25                          " ②
联立①②可得或,                                           10分
由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°，
故所求的直线方程为x=3或y="1.                                         "     12分