Question

4．已知等比数列{a_n}的前10项的积为32，则以下论述：
①数列{a_n}的各项均为正数
②数列{a_n}中必有小于$\sqrt{2}$的项
③数列{a_n}的公比必是正数
④数列{a_n}的首项和公比中必有一个大于1
其中正确的为（　　）

• A． ①②
• B． ②③
• C． ③
• D． ③④

Answer 1

分析 由等比数列{a_n}的前10项的积为32，结合等比数列的性质可知${{a}_{5}}^{2}q=2$，然后分别进行判断即可．

解答 解：∵等比数列{a_n}的前10项的积为32，∴a₁a₂a₃…a₁₀=${（a}_{5}{a}_{6}）^{5}$=32．
∴a₅a₆=2，
设公比为q，则${{a}_{5}}^{2}q=2$，故q必是正数，故③正确．
由${{a}_{5}}^{2}q=2$可知a₅可以为负数，故①错误；
由a₅a₆=2可以得前10项全为$\sqrt{2}$，故②错误；
由${{a}_{5}}^{2}q=2$可得${{（a}_{1}{q}^{4}）}^{2}q={{a}_{1}}^{2}{q}^{9}=2$，可取q=1、${a}_{1}=-\sqrt{2}$均不大于1，故④错误．
故正确的命题是③
故选C．

点评 本题主要考查与等比数列有关的命题的真假判断，由等比数列的性质得出${{a}_{5}}^{2}q=2$，推出q必是正数是解决问题的关键．考查学生的运算和推理能力．