【题目】已知等轴双曲线:的右焦点为,为坐标原点,过作一条渐近线的垂线且垂足为,.
(1)求等轴双曲线的方程;
(2)若过点且方向向量为的直线交双曲线于、两点,求的值;
(3)假设过点的动直线与双曲线交于、两点,试问:在轴上是否存在定点,使得为常数,若存在,求出的坐标,若不存在,试说明理由.
【答案】(1);(2);(3)定点.
【解析】
(1)根据双曲线焦点到渐近线的距离为和等轴双曲线的性质,求得等轴双曲线的方程.
(2)由直线的方向向量求得直线的斜率,由此写出直线的方程.联立直线的方程和双曲线的方程,写出韦达定理,求得,,由此求得的值.
(3)设,设出直线的方程,与双曲线方程联立,写出韦达定理,代入进行化简,结合为常数列方程,解方程求得点的坐标.
(1)双曲线焦点到渐近线的距离为,所以,所以等轴双曲线的方程为.且.
(2)由于直线的方向行向量为,所以直线的斜率为,而,所以:,与联立方程并化简得,可得,,
即.
(3)设点.依题意可知直线与不平行,设直线,与联立方程有,
可得,,∴,,
,要为定值,
需满足,∴,即定点.
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【题目】设关于的一元二次方程.
(1)若是从0,1,2,3,4五个数中任取的一个数,是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若是从区间上任取的一个数,是从区间上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
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【题目】已知甲、乙、丙三位同学在某次考试中总成绩列前三名,有,,三位学生对其排名猜测如下::甲第一名,乙第二名;:丙第一名;甲第二名;:乙第一名,甲第三名.成绩公布后得知,,,三人都恰好猜对了一半,则第一名是__________.
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【题目】已知F为抛物线的焦点,过F且倾斜角为的直线交抛物线于A,B两点,.
(1)求抛物线的方程:
(2)已知为抛物线上一点,M,N为抛物线上异于P的两点,且满足,试探究直线MN是否过一定点?若是,求出此定点;若不是,说明理由.
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【题目】已知半圆:,、分别为半圆与轴的左、右交点,直线过点且与轴垂直,点在直线上,纵坐标为,若在半圆上存在点使,则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
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【题目】已知椭圆的离心率为,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为,直线l的方程为:
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)已知直线l与椭圆相交于、两点
①若线段中点的横坐标为,求斜率的值;
②已知点,求证:为定值
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【题目】(本题满分12分)袋中装有黑色球和白色球共7个,从中任取2个球都是白色球的概率为.现有甲、乙两人从袋中轮流摸出1个球,甲先摸,乙后摸,然后甲再摸,……,摸后均不放回,直到有一人摸到白色球后终止.每个球在每一次被摸出的机会都是等可能的,用X表示摸球终止时所需摸球的次数.
(1)求随机变量X的分布列和均值E(X);
(2)求甲摸到白色球的概率.
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【题目】已知U=R且A={x|a2x2-5ax-6<0},B{x||x-2|≥1}.
(1)若a=1,求(UA)B;
(2)求不等式a2x2-5ax-6<0(a∈R)的解集.
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【题目】2014年7月18日15时,超强台风“威马逊”登陆海南省.据统计,本次台风造成全省直接经济损失119.52亿元,适逢暑假,小明调查住在自己小区的50户居民由于台风造成的经济损失,作出如下频率分布直方图:
经济损失4000元以下 | 经济损失4000元以上 | 合计 | |
捐款超过500元 | 30 | ||
捐款低于500元 | 6 | ||
合计 |
(1)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款,小明调查的50户居民捐款情况如上表,在表格空白处填写正确数字,并说明是否有以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关?
(2)台风造成了小区多户居民门窗损坏,若小区所有居民的门窗均由李师傅和张师傅两人进行维修,李师傅每天早上在7:00到8:00之间的任意时刻来到小区,张师傅每天早上在7:30到8:30分之间的任意时刻来到小区,求连续3天内,李师傅比张师傅早到小区的天数的分布列和数学期望.
附:临界值表
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 | |
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
参考公式:,.
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