Question

已知ab≠0，求证：a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.

Answer 1

证明：必要性：∵a+b=1,

即b=1-a,

∴a³+b³+ab-a²-b²=a³+(1-a)³+a(1-a)-a²-(1-a)²=a³+1-3a+3a²-a³+a-a²-a²-1+2a-a²=0.

充分性：∵a³+b³+ab-a²-b²=0,即(a+b)(a²-ab+b²)-(a²-ab+b²)=0,

∴(a²-ab+b²)(a+b-1)=0.

由ab≠0，即a≠0且b≠0，

∴a²-ab+b²=(a-)²+≠0.

只有a+b=1.

综上,可知当ab≠0时，a+b=1的充要条件是a³+b³+ab-a²-b²=0.