Question

下列命题中假命题 是（　　）

• A、离心率为

  2

  的双曲线的两条渐近线互相垂直
• B、过点（1，1）且与直线x-2y+

  3

  =0垂直的直线方程是2x+y-3=0
• C、抛物线y²=2x的焦点到准线的距离为1
• D、

  x2

  32

  +

  y2

  52

  =1的两条准线之间的距离为

  25

  4

Answer 1

分析：A设出双曲线的标准方程，则可表示出其渐近线的方程，根据离心率为

2

，推断出其斜率之积为-1进而求得a两条渐近线互相垂直．
B设与直线x-2y+

3

=0垂直的直线的方程，把点（1，1）的坐标代入求出c值，即得所求的直线的方程．
C根据抛物线的方程求得抛物线的焦点坐标和准线的方程，进而利用点到直线的距离求得焦点到准线的距离．
D先据标准方程求出a²、b²，计算c²，两准线间的距离为

2a2

c

解答：解：对于A：设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，则双曲线的渐近线方程为y=±

b

a

x
根据离心率为

2

，推断出其斜率之积为-1进而两条渐近线互相垂直，故正确；
B：设所求的直线方程为2x+y+c=0，把点（1，1）的坐标代入得 2+1+c=0，
∴c=-3，
故所求的直线的方程为2x+y-3=0，故正确；
C：根据题意可知焦点F（

1

2

，0），准线方程x=-

1

2

，
∴焦点到准线的距离是1，故正确．
D：a=3，b=5，∴c²=41，

2a2

c

=

6

41

，∴两准线间的距离为

2a2

c

=

6

41

故错．
故选 D．

点评：本小题主要考查圆锥曲线的共同特征、抛物线的简单性质．考查了学生对抛物线标准方程的理解和运用，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．