已知定义域为的函数对任意实数满足:,且不是常值函数,常数使,给出下列结论:①;②是奇函数;③是周期函数且一个周期为;④在内为单调函数。其中正确命题的序号是___________。
.③
【解析】解:根据题意,在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,
令y=0可得,2f(x)=2f(x)f(0),又由f(x)不是常函数,即f(x)=0不恒成立,则f(0)=1,
依次分析4个命题可得:
对于①、在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,令x=y=
,可得f(t)+f(0)=
结合f(0)=1,f(t)=0,可得,则可得,故①错误,
对于②、在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,令x=0,可得f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),f(y)+f(-y)=0不恒成立,f(x)不是奇函数,故②错误,
对于③、在f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)中,令y=t可得,在f(x+t)+f(x-t)=2f(x)f(t)=0,
即f(x+t)=-f(x-t),则f(x+3t)=-f(x+t)=f(x-t),即f(x+3t)=f(x-t),则f(x)是周期函数且一个周期为4t,③正确,
对于④、根据题意,无法判断f(x)的单调性,则④错误;
故答案为③.
科目:高中数学 来源:2010-2011年安徽省滁州中学高一下学期期中考试数学试卷 题型:解答题
、(本小题满分14分)
已知定义域为的函数对任意的,,且
(1)求的值;
(2)若为单调函数,,向量,,是否存在实数,对任意恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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科目:高中数学 来源:2015届吉林省高一上学期月考数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知定义域为的函数对任意实数满足
,且.
(1)求及的值;
(2)求证:为奇函数且是周期函数.
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年四川省高考压轴理科数学试卷(解析版) 题型:填空题
.已知定义域为的函数对任意实数满足:,且不是常函数,常数使,给出下列结论:①;②是奇函数;③是周期函数且一个周期为;④在内为单调函数.其中正确命题的序号是___________.
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科目:高中数学 来源:2010-2011年安徽省高一下学期期中考试数学试卷 题型:解答题
、(本小题满分14分)
已知定义域为的函数对任意的,,且
(1)求的值;
(2)若为单调函数,,向量,,是否存在实数,对任意恒成立?若存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.
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