【题目】已知函数f(x)=x2-aln x(a>0)的最小值是1.
(1)求a;
(2)若关于x的方程f2(x)ex-6mf(x)+9me-x=0在区间[1,+∞)有唯一的实根,求m的取值范围.
【答案】(1)a=2.(2) .
【解析】试题分析:
(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,求出的最小值,问题转化为,记,根据函数的单调性求出的值即可;
(2)由条件可得,令,原问题等价于方程在区间内有唯一解,通过讨论的符号,求出的范围即可.
试题解析:
(1)f′(x)=2x-=(x>0).
所以,当0<x<时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减;当x>时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增.
故f(x)min=f=-ln,
由题意可得:-ln=1,即-ln-1=0,
记g(a)=-ln-1(a>0),
则函数g(a)的零点即为方程-ln=1的根;
由于g′(a)=-ln,故a=2时,g′(2)=0,
且0<a<2时,g′(a)>0;a>2时,g′(a)<0,
所以a=2是函数g(a)的唯一极大值点,
所以g(a)≤g(2),又g(2)=0,所以a=2.
(2)由条件可得f2(x)e2x-6mf(x)ex+9m=0,
令g(x)=f(x)ex=(x2-2ln x)ex,
则g′(x)=ex,
令r(x)=x2+2x--2ln x(x≥1),
则r′(x)=2x+2+->2x-=≥0,
r(x)在区间[1,+∞)内单调递增,
∴g(x)≥g(1)=e;
所以原问题等价于方程t2-6mt+9m=0在区间[e,+∞)内有唯一解,
当Δ=0时可得m=0或m=1,经检验m=1满足条件.
当Δ>0时可得m<0或m>1,
所以e2-6me+9m≤0,解之得m≥,
综上,m的取值范围是.
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【题目】已知{an}是等差数列,{bn}是各项均为正数的等比数列,且b1=a1=1,b3=a4,b1+b2+b3=a3+a4.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=anbn,求数列{cn}的前n项和Tn.
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【题目】已知各项都为正数的数列{an}满足a1=1, =2an+1(an+1)-an.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=,求数列{an·bn}的前n项和Tn.
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【题目】已知数列{an}是等差数列,a10=4a3,a4=3a1+7.
(1)求通项公式an;
(2)若bn=an-2an+2,求数列{bn}的前n项和Sn.
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【题目】在统计学中,偏差是指个别测定值与测定的平均值之差,在成绩统计中,我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差,班主任为了了解个别学生的偏科情况,对学生数学偏差x(单位:分)与物理偏差y(单位:分)之间的关系进行学科偏差分析,决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析,得到他们的两科成绩偏差数据如下:
学生序号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
数学偏差x | 20 | 15 | 13 | 3 | 2 | -5 | -10 | -18 |
物理偏差y | 6.5 | 3.5 | 3.5 | 1.5 | 0.5 | -0.5 | -2.5 | -3.5 |
(1)已知x与y之间具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(2)若这次考试该班数学平均分为118分,物理平均分为90.5,试预测数学成绩126分的同学的物理成绩.
参考公式: .
参考数据: .
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【题目】为了减少雾霾,还城市一片蓝天,某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策,鼓励民众不开车低碳出行,某甲乙两个单位各有200名员工,为了了解员工低碳出行的情况,统计了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数,画出茎叶图如下:
(1)若甲单位数据的平均数是122,求;
(2)现从如图的数据中任取4天的数据(甲、乙两单位中各取2天),记其中甲、乙两单位员工低碳出行人数不低于130人的天数为, ,令,求的分布列和期望.
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【题目】(2017·黄冈质检)如图,在棱长均为2的正四棱锥P-ABCD中,点E为PC的中点,则下列命题正确的是( )
A. BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距离为
B. BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距离为
C. BE与平面PAD不平行,且BE与平面PAD所成的角大于30°
D. BE与平面PAD不平行,且BE与平面PAD所成的角小于30°
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【题目】(2017·河西五市二联)下列说法正确的是( )
A. 命题“x∈R,ex>0”的否定是“x∈R,ex>0”
B. 命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”是真命题
C. “x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”“(x2+2x)min≥(ax)min在x∈[1,2]上恒成立”
D. 命题“若a=-1,则函数f(x)=ax2+2x-1只有一个零点”的逆命题为真命题
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