Question

【题目】在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，曲线C的参数方程为(为参数，)．

(1)求直线l的直角坐标方程及曲线C的普通方程；

(2)证明：直线l和曲线C相交，并求相交弦的长度．

Answer 1

【答案】（1），（2）

【解析】

(1)按照两角差的正弦公式和极坐标化为直角坐标的公式得到结果；（2）根据第一问得到的圆的普通方程可求得圆的圆心和坐标，再由垂径定理构造直角三角形,得到弦长.

（1） 因为直线的极坐标方程为：

所以，即为

因为，所以直线的直角坐标方程为

即为

由曲线的参数方程 得，两式平方做和

得到

所以曲线的普通方程为

（2） 由（1）得，圆 的圆心为，半径

因为圆心到直线的距离

所以直线与圆相交

设交点为，则

所以，相交弦的长度为.