Question

某学生对函数f（x）=xsinx进行研究，得出如下四个结论：①函数f（x）在上单调递增；②存在常数M＞0，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立；③函数f（x）在（0，π）无最小值，但一定有最大值；④点（π，0）是函数y=f（x）图象的一个对称中心．其中正确的是

1. A.
   ③
2. B.
   ②③
3. C.
   ②④
4. D.
   ①②④

Answer 1

B
分析：①化简函数的表达式，判断函数f（x）的奇偶性，即可判定在上单调递增的正误；
②找出一个常数M，使|f（x）|≤M|x|对一切实数x均成立即可；
③利用函数的单调性，判断函数f（x）在（0，π）的最值即可；
④找出关于点（π，0）的对称点是否关于（π，0）对称即可判断正误；
解答：①f（-x）=-xsin（-x）=f（x），易知f（x）是偶函数，因此f（x）=xsinx在上不可能单调递增；
②取M=1即可说明结论是正确的；
③由②知|f（x）|≤|x|，故在（0，π）一定有最大值，由于f（x）＞0，且和0无限靠近，因此无最小值；
④，．故点（π，0）不是函数y=f（x）图象的一个对称中心．
故选B．
点评：本题是基础题，考查三角函数的基本性质，牢记基本知识，基本性质是解好数学题目的关键．