Question

16．若直线y=kx+1（k∈R）与椭圆$\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1$恒有公共点，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 解法一、联立直线和椭圆方程，运用判别式非负，解不等式即可得到所求范围；
解法二、求出直线恒过定点，讨论椭圆的焦点位置，由直线和椭圆有交点，可得m的范围；
解法三、先根据直线方程可知直线恒过（0，1）点，要使直线y=kx+1与椭圆恒有公共点需（0，1）在椭圆上或椭圆内，进而求得m的范围

解答 解法一：由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx+1}\\{\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{m}=1}\end{array}}\right.$可得（5k²+m）x²+10kx+5-5m=0，
∴△=m-5k²-1≥0即m≥5k²+1≥1∴m≥1且m≠5；
解法二：直线恒过一定点（0，1），
当m＜5时，椭圆焦点在x轴上，短半轴长$b=\sqrt{m}$，
要使直线与椭圆恒有交点则$\sqrt{m}≥1$，即1≤m＜5；
当m＞5时，椭圆焦点在y轴上，长半轴长$a=\sqrt{5}$，
可保证直线与椭圆恒有交点即m＞5．
综述：m≥1且m≠5；
解法三：直线恒过一定点（0，1），
要使直线与椭圆恒有交点，
即要保证定点（0，1）在椭圆内部$\frac{0^2}{5}+\frac{1^2}{m}≤1$，
即m≥1且m≠5．

点评 本题主要考查了直线与椭圆有公共点的问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，通过判别式非负解决，也可以通过直线恒过定点，证明定点在椭圆内，属于中档题．