Question

【题目】设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴正半轴上，过点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AB的长是8，AB的中点到x轴的距离是3．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）设直线m在y轴上的截距为6，且与抛物线交于P，Q两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），

准线方程为y=﹣ ，

由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AB|=2（3+ ）=8，

解得p=2，

即有抛物线的方程为x2=4y

（2）

解：设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，可得

x2﹣4kx﹣24=0，

设P（x1， ），Q（x2， ），

可得x1+x2=4k，x1x2=﹣24，

由y= x2的导数为y′= x，

设R（t，﹣1），可得kPR= = x1，

可得t= x1﹣ ，

再由Q，F，R共线，可得 = ，

消去t，可得 = ，

即有16x1x2=4（x12+x22）﹣16﹣（x1x2）2，

即有16×（﹣24）=4[（4k）2+2×24]﹣16﹣242，

解方程可得k=± ，

即有直线m的方程为y=± x+6

【解析】（1）设抛物线的方程为x2=2py（p＞0），求出准线方程，运用抛物线的定义和中位线定理，可得2（3+ ）=8，解得p，即可得到抛物线的方程；（2）设直线PQ的方程为y=kx+6，代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合导数求得切线的斜率，再由两点的方斜率公式，以及三点共线的条件：斜率相等，化简整理解方程可得k的值，客人得到直线m的方程．