Question

 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．
（1）证明：AE是⊙O的切线；
（2）如果AB=2

3

，AE=

3

，求CD．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（1）首先通过连接半径，进一步证明∠DAE+∠OAD=90°，得到结论．
（2）利用第一步的结论，找到△ADE∽△BDA的条件，进一步利用勾股定理求的结果

解答：
（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，
∴∠DAE+∠ADE=90°
∵DA平分∠BDC．
∴∠ADE=∠BDA
∵OA=OD
∴∠BDA=∠OAD
∴∠OAD=∠ADE
∴∠DAE+∠OAD=90°
即：AE是⊙O的切线
（2）在△ADE和△BDA中，
∵BD是⊙O的直径
∴∠BAD=90°
由（1）得：∠DAE=∠ABD
又∵∠BAD=∠AED

AD

BD

=

AE

AB

=

3

2 3

=

1

2

∵AB=2

3

求得：BD=4，AD=2
∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°
进一步求得：CD=2
故答案为：（1）略
（2）CD=2

点评：本题考查的知识点：证明切线的方法：连半径，证垂直．三角形相似的判定，勾股定理的应用．