Question

【题目】椭圆C： 过点P（ ，1）且离心率为 ，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若△AMN面积为3 ，求直线MN的方程．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可得： =1， = ，又a2=b2+c2，

联立解得：a2=6，b2=2，c=2．

∴椭圆C的方程为： ．

（Ⅱ）F（2，0）．

①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得： + =1，解得y=± ．

则S△AMN= =2 ≠3 ，舍去．

②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x﹣2．

把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．

∴y1+y2=﹣ ，y1y2= ，

∴|y1﹣y2|= = = ．

则S△AMN= =3× =3 ，解得m=±1．

∴直线MN的方程为：y=±（x﹣2）．

【解析】（1）由题意可得： =1， = ，又a2=b2+c2，联立解得：a2，b2，c．可得椭圆C的方程．（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得： + =1，解得y．则S△AMN≠3 ，舍去．②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．可得|y1﹣y2|= ．利用S△AMN= =3 即可得出．