Question

设f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，不等式f（x）＞0的解集是（-3，2）．
（1）求f（x）；
（2）当函数f（x）的定义域是[0，1]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由不等式f（x）＞0的解集是（-3，2），结合函数零点、方程的根与不等式解集的端点之间的关系，我们易得到-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根，根据韦达定理我们易构造出关于a，b的方程，求出a，b值后易得函数的解析式．
（2）根据（1）的结论，结合二次函数的性质，我们易判断函数在区间[0，1]上的最值，由于函数是连续函数，故可得函数f（x）的值域．

解答：解：（1）∵f（x）＞0的解集是（-3，2），
∴-3，2是方程ax²+（b-8）x-a-ab=0的两个根，
∴-3+2=-1=

8-b

a

，即b-8=a①
-3×2=-6=

-a-ab

a

，即1+b=6②
解得a=-3，b=5
∴f（x）=-3x²-3x+18
（2）∵函数f（x）=-3x²-3x+18的图象是以x=-

1

2

为对称轴，开口方向朝下的抛物线
故函数f（x）=-3x²-3x+18在区间[0，1]上单调递减
∴当x=0时，y有最大值18，
当x=1时，y有最小值12，
∴当x∈[0，1]时函数f（x）的值域[12，18]

点评：本题考查的知识点是函数零点与方程的根及不等式解集的端点之间的关系，函数的值域，其中根据函数零点与方程的根及不等式解集的端点之间的关系，由不等式f（x）＞0的解集是（-3，2），构造关于a，b的方程，进而求出函数的解析式是解答本题的关键．