Question

函数f（x）的定义域为D={x|x＞0}，满足：对于任意m，n∈D，都有f（mn）=f（m）+f（n），且f（2）=1．
（1）求f（4）的值；（2）如果f（2x-6）≤3，且f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中对于任意m，n∈D，都有f（mn）=f（m）+f（n），且f（2）=1，令m=n=2，易求出f（4）的值；
（2）结合（1）中f（2）=1，f（4）=2及f（mn）=f（m）+f（n），可得f（8）=3，结合f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，可将不等式f（2x-6）≤3转化为不等式组
解不等式组，即可得到答案．
解答：解：（1）∵对于任意m，n∈D，都有f（mn）=f（m）+f（n），且f（2）=1
令m=n=2
则f（4）=f（2）+f（2）=2，
（2）∵f（2）=1，f（4）=2
∴f（8）=f（2）+f（4）=3，
又∵f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴f（2x-6）≤3成立时，x满足

解得：3＜x≤7
即满足条件的x的取值范围为3＜x≤7
点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，其中根据已知中函数的解析式，利用凑配法，求出f（4）=2，f（8）=3等，是解答本题的关键．