Question

6．已知正项数列{a_n}满足a₁=1，（n+2）a_n+1²-（n+1）a${\;}_{n}^{2}$+a_na_n+1=0，则它的通项公式为（　　）

• A． a_n=$\frac{1}{n+1}$
• B． a_n=$\frac{2}{n+1}$
• C． a_n=$\frac{n+1}{2}$
• D． a_n=n

Answer 1

分析 由数列递推式可得$（n+2）•（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}+\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n+1$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n+2}$．然后利用累积法求出数列的通项公式．

解答 解：由（n+2）a_n+1²-（n+1）a${\;}_{n}^{2}$+a_na_n+1=0，得
$（n+2）•（\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}）^{2}+\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=n+1$，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{n+1}{n+2}$．
∴${a}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}•\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}…\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}•{a}_{1}$=$\frac{n}{n+1}•\frac{n-1}{n}…\frac{2}{3}•1$=$\frac{2}{n+1}$．
故选：B．

点评 本题考查数列递推式，考查了累积法求数列的通项公式，是中档题．