Question

（2013•南开区二模）在某校组织的一次篮球定点投篮测试中，规定每人最多投3次．每次投篮的结果相互独立．在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分，否则得0分．将学生得分逐次累加并用ξ表示，如果ξ的值不低于3分就认为通过测试，立即停止投篮，否则继续投篮，直到投完三次为止．投篮的方案有以下两种：方案1：先在A处投一球，以后都在B处投：方案2：都在B处投篮．甲同学在A处投篮的命中率为0.5，在B处投篮的命中率为0.8．
（1）当甲同学选择方案1时．
①求甲同学测试结束后所得总分等于4的概率：
②求甲同学测试结束后所得总分ξ的分布列和数学期望Eξ；
（2）你认为甲同学选择哪种方案通过测试的可能性更大？说明理由．

Answer 1

分析：（1）设该同学在A处投中为事件A，不中为事件

.

A

，在B处投中为事件B，不中为事件

.

B

．则事件A，B相互独立，
①求甲同学测试结束后所得总分等于4可记着事件

.

A

BB，由对立事件和相互独立事件性质，能求出甲同学测试结束后所得总分等于4的概率．
②根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错．
（2）甲同学选择1方案通过测试的概率为P₁，选择2方案通过测试的概率为P₂，利用分布列可得P₁=P（ξ≥3）和P₂=P（

.

B

BB）+P（B

.

B

B）+P（BB）的大小，再比较P₂，P₁的大小，从而得出结论．

解答：解：（1）设该同学在A处投中为事件A，不中为事件

.

A

，
在B处投中为事件B，不中为事件

.

B

．则事件A，B相互独立，
①求甲同学测试结束后所得总分等于4可记着事件

.

A

BB，
则P（

.

A

BB）=P（

.

A

）P（B）P（B）=0.5×0.8×0.8=0.32；
②甲同学测试结束后所得总分ξ的可能值为0，2，3，4．
则P（ξ=0）=P（

.

ABB

）=P（

.

A

）P（

.

B

）P（

.

B

）=0.5×0.2×0.2=0.02，
P（ξ=2）=P（

.

A

B

.

B

）+P（

.

AB

B）
=P（

.

A

）P（B）P（

.

B

）+P（

.

A

）P（

.

B

）P（B）
=0.5×0.8×0.2+0.5×0.2×0.8=0.16，
P（ξ=3）=P（A）=0.5，
P（ξ=4）=P（

.

A

BB）=P（

.

A

）P（B）P（B）=0.5×0.8×0.8=0.32，
分布列为：

∴数学期望Eξ=0×0.02+2×0.16+3×0.5+4×0.32=3.1；
（2）甲同学选择1方案通过测试的概率为P₁，选择2方案通过测试的概率为P₂，
则P₁=P（ξ≥3）=0.5+0.32=0.82，
P₂=P（

.

B

BB）+P（B

.

B

B）+P（BB）=2×0.8×0.2+0.8×0.8=0.896，
∵P₂＞P₁，∴甲同学选择2方案通过测试的可能性更大．

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．