Question

在数列{a_n}和{b_n}中，an=an，b_n=（a+1）n+b，n=1，2，3，…，其中a≥2且a∈N^*，b∈R．设A={a₁，a₂，a₃，…}，B={b₁，b₂，b₃，…}，试问在区间[1，a]上是否存在实数b使得C=A∩B≠∅．若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，设m₀∈C，则m₀∈A，且m₀∈B，利用数列的通项，可得a^t=（a+1）s+b，从而可得s=

at-b

a+1

，根据a，t，s∈N^*，且a≥2，可得a^t-b能被a+1整除，再分类讨论，即可求得结论．

解答：解：设存在实数b∈[1，a]，使C=A∩B≠∅，
设m₀∈C，则m₀∈A，且m₀∈B，
设m0=at(t∈N*)，m0=(a+1)s+b(s∈N*)，则a^t=（a+1）s+b，所以s=

at-b

a+1

，
因为a，t，s∈N^*，且a≥2，所以a^t-b能被a+1整除．       …（4分）
（1）当t=1时，因为b∈[1，a]，a-b∈[0，a-1]，所以s=

a-b

a+1

∉N*；                       …（5分）
（2）当t=2n（n∈N^*）时，a2n-b=[(a+1)-1]2n-b=(a+1)2n+…-

C

1 2n

(a+1)+1-b，
由于b∈[1，a]，所以b-1∈[0，a-1]，0≤b-1＜a+1，
所以，当且仅当b=1时，a^t-b能被a+1整除．…（7分）
（3）当t=2n+1（n∈N^*）时，a2n+1-b=[(a+1)-1]2n+1-b=(a+1)2n+1+…+

C

1 2n+1

(a+1)-1-b，
由于b∈[1，a]，所以b+1∈[2，a+1]，
所以，当且仅当b+1=a+1，即b=a时，a^t-b能被a+1整除．．…（9分）
综上，在区间[1，a]上存在实数b，使C=A∩B≠∅成立，
当b=1时，C={y|y=a²ⁿ，n∈N^*}；
当b=a时，C={y|y=a²ⁿ⁺¹，n∈N^*}．                    …（10分）

点评：本题考查演绎推理，考查数列知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．