练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情

    设函数定义域为R，当x<0时，f(x)>1，且对于任意的x∈R，有f(x + y)=f(x)•f(y)成立.数列{an}满足a1=f(0)，且f()=.问：是否存在正数k，使(1+均成立，若存在，求出k的最大值并证明，否则说明理由.

    解：令x=-1,y=0,得f(-1)=f(-1)•f(0),

    ∵-1<0, ∴f(-1)>1, ∴f(0)=1,

    ∵f(0)=f(x)f(-x)  ∴f(x)>0  

    设x1<x2  ∵x1-x2<0 ∴f(x1-x2)>1  

    ∴f(x1)=f(x1-x2)f(x2)  

    ∴f(x1)>f(x2)

    ∴f(x)是R上的减函数.

    由,

    ∴

    又∵a1=f(0)=1.  

    ∴{an}是等差数列，其首项为1，公差为d=2.∴an=2n-1.

    ∴存在正数k，使成立.

    设

    ∴F(n)单调递增. ∴F(1)为F(n)的最小值.

    由F(n)≥k恒成立. ∴k≤

    ∴k的最大值为

    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    奇函数y=f（x）的定义域为R，当x≥0时，f（x）=2x-x2，设函数y=f（x），x∈[a，b]的值域为[
    1
    b
    ，
    1
    a
    ]    ，则b的最小值为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    设函数y=f（x）定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）成立．数列{an}满足a1=f（0），且 f(an+1)=
    1
    f(-2-an)
    (n∈N*)    ．
    （Ⅰ） 求f（0）的值；
    （Ⅱ） 求数列{an}的通项公式；
    （Ⅲ） 是否存在正数k，使(1+
    1
    a1
    )(1+
    1
    a2
    )…(1+
    1
    an
    )≥k
    		2n+1
    对一切n∈N*均成立，若存在，求出k的最大值，并证明，否则说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （附加题）设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）f（y）．
    （1）求f（0），判断函数f（x）的单调性；
    （ 2 ）数列{an}满足a1=f（0），且f(an+1)=
    1
    f(-2-an)
    （n∈N*）
    A．求数列{an}的通项公式；
    B．令bn=(
    1
    2
    )an，Sn=b1+b2+b3+…bn，Tn=
    1
    a1a2
    +
    1
    a2a3
    +…+
    1
    anan+1
    ，试比较Sn与
    2
    3
    Tn的大小，并加以证明．

    查看答案和解析>>

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•营口二模）设函数f（x）的定义域为R，当x＜0时，f（x）＞1，且对于任意的实数x，y都有 f（x+y）=f（x）•f（y）成立，
    （1）求f（0）的值，判断并证明函数f（x）的单调性；
    （2）若数列{an}满足a1=f(0)，f(an+1)=
    1
    f(-2-an)
    ，(n∈N+)    ，求{an}的通项公式；
    （3）如果f(1)=
    1
    2
    ，bn=lgf（an），求数列{bn}的前n项和Sn．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案