Question

12．已知函数f（x）=x²-2x，g（x）=ax+2（a＞0），若对任意x₁∈R，都存在x₂∈[-2，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂），则实数a的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{3}{2}，+∞}）$
• B． （0，+∞）
• C． $（{0，\frac{3}{2}}）$
• D． $（{\frac{3}{2}，3}）$

Answer 1

分析 确定函数f（x）、g（x）的值域，根据对任意的x₁∈R都存在x₂∈[-2，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂），可f（x）值域是g（x）值域的子集，从而得到实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=x²-2x的图象是开口向上的抛物线，且关于直线x=1对称
∴f（x）的最小值为f（1）=-1，无最大值，
可得f（x₁）值域为[-1，+∞），
又∵g（x）=ax+2（a＞0），x₂∈[-2，+∞），
∴g（x）=ax+2（a＞0）为单调增函数，g（x₂）值域为[g（-2），+∞），
即g（x₂）∈[2-2a，+∞），
∵对任意的x₁∈R都存在x₂∈[-2，+∞），使得f（x₁）＞g（x₂），
∴只需f（x）值域是g（x）值域的子集即可，
∴2-2a＜-1，解得：a＞$\frac{3}{2}$，
故选：A．

点评 本题考查了函数的值域，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是对“任意”、“存在”的理解．