在平面直角坐标系中,点为动点,、分别为椭圆的左、右焦点.已知为等腰三角形.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设直线与椭圆相交于、两点,是直线上的点,满足,求点的轨迹
方程.
(1);(2).
【解析】
试题分析:(1)先利用平面向量的数量积确定为钝角,从而得到当时,必有,根据两点间的距离公式列有关、、的方程,求出与之间的等量关系,从而求出离心率的值;(2)先求出直线的方程,与椭圆方程联立求出交点、的坐标,利用以及、、三点共线列方程组消去,从而得出点的轨迹方程.
试题解析:(1)设椭圆的焦距为,则,,,
,,
,所以为钝角,
由于为等腰三角形,,,即,
即,整理得,即,
由于,故有,即椭圆的离心率为;
(2)易知点的坐标为,则直线的斜率为,
故直线的方程为,由于,,
故椭圆的方程为,即,
将直线的方程代入椭圆方程并化简得,解得或,
于是得到点,,
(2)设点的坐标为,由于点在直线上,所以,
,
,
,
即,
整理得,即点的轨迹方程为.
考点:1.椭圆的方程;2.两点间的距离;3.平面向量的数量积;4.动点的轨迹方程
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