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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率e=
    		6
    3
    ，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
    		3
    2
    ．
    （1）求椭圆的方程．
    （2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
    （1）∵直线过点A（0，-b）和B（a，0），
    ∴直线L：
    x
    a
    -
    y
    b
    =1    与坐标原点的距离为
    		3
    2
    ，∴
    		3
    2
    =
    |ab|
    		a2+b2
    ．①…（2分）
    ∵椭圆的离心率 e=
    		6
    3
    ，∴
    c2
    a2
    =
    2
    3
    ．②…（4分）
    由①得4a2b2=3a2+3b2，即4a2（a2-c2）=3a2+3（a2-c2）③
    由②③得a2=3，c2=2
    ∴b2=a2-c2=1
    ∴所求椭圆的方程是
    x2
    3
    +y2=1…（6分）
    （2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k2）x2+12kx+9=0
    ∴△=36k2-36＞0，∴k＞1或k＜-1…（8分）
    设C（x1，y1），D（x2，y2），则有x1+x2=
    -12k
    1+3k2
    ，x1x2=
    9
    1+3k2
    …（10分）
    ∵
    EC
    =（x1+1，y1），
    ED
    =（x2+1，y2），且以CD为圆心的圆过点E，
    ∴EC⊥ED…（12分）
    ∴（x1+1）（x2+1）+y1y2=0
    ∴（1+k2）x1x2+（2k+1）（x1+x2）+5=0
    ∴（1+k2）×
    9
    1+3k2
    +（2k+1）×
    -12k
    1+3k2
    +5=0，解得k=
    7
    6
    ＞1，
    ∴当k=
    7
    6
    时以CD为直径的圆过定点E…（14分）
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）经过点(
    		3
    ，-
    		3
    2
    )    ，且椭圆的离心率e=
    1
    2
    ，过椭圆的右焦点F作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点A、B及C、D．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）求证：
    1
    |AB|
    +
    1
    |CD|
    为定值；
    （Ⅲ）求|AB|+
    9
    16
    |CD|的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左右两焦点分别为F1，F2，p是椭圆上一点，且在x轴上方，PF2⊥F1F2，PF2=λPF1，λ∈[
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]．
    （1）求椭圆的离心率e的取值范围；
    （2）当e取最大值时，过F1，F2，P的圆Q的截y轴的线段长为6，求椭圆的方程；
    （3）在（2）的条件下，过椭圆右准线l上任一点A引圆Q的两条切线，切点分别为M，N．试探究直线MN是否过定点？若过定点，请求出该定点；否则，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    过点M（1，1）作一直线与椭圆
    x2
    9
    +
    y2
    4
    =1相交于A，B两点，若M点恰好为弦AB的中点，则AB所在直线的方程为______．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知A（-3，0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足
    AB
    •
    BQ
    =0    ，
    BC
    =
    1
    2
    CQ
    ．
    （1）求动点Q的轨迹方程；
    （2）设过点A的直线与Q的轨迹交于E、F两点，A′（3，0），求直线A′E、A′F的斜率之和．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		2
    2
    ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1，F2为顶点的三角形的周长为4（
    		2
    +1），一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D．
    （Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
    （Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1•k2=1；
    （Ⅲ）（此小题仅理科做）是否存在常数λ，使得|AB|+|CD|=λ|AB|•|CD|恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C的方程为
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    ，双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    的两条渐近线为
    l1，l2，过椭圆C的右焦点F作直线l，使l⊥l1，又l与l2交于P，设l与椭圆C的两个交点由上至下依次为A、B（如图）．
    （1）当l1与l2的夹角为60°，且△POF的面积为
    		3
    2
    时，求椭圆C的方程；
    （2）当
    FA
    =λ
    AP
    时，求当λ取到最大值时椭圆的离心率．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=
    		5
    5
    ，过F1的直线交椭圆于M、N两点，且△MNF2的周长为4
    		5

    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）设AB是过椭圆E中心的任意弦，P是线段AB的垂直平分线与椭圆E的一个交点，求△APB面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2-y2=1．
    （1）过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；
    （2）设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点，若l与圆x2+y2=1相切，求证：OP⊥OQ；
    （3）设椭圆C2：4x2+y2=1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．

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