【题目】若y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, 的部分图象如图所示.
(I)求函数y=f(x)的解析式;
(II)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图象;若y=g(x)图象的一个对称中心为 ,求θ的最小值.
【答案】解:(I)根据y=f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, 的部分图象知,
周期 ,∴ω=2,且A=2.
再根据五点法作图可得ω(﹣ )+φ=0,求得φ= ,∴f(x)=2sin(2x+ ).
把x=0,y=1代入上式求得 .
(II)将y=f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y= 的图象,
若y=g(x)图象的一个对称中心为 ,则2 +2θ+ =kπ,k∈Z,即θ= ﹣ ,
故要求θ的最小值为 .
【解析】(I)由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式.(II)根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式,再利用正弦函数的图象的对称性,求得θ的最小值.
【考点精析】本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换的相关知识点,需要掌握图象上所有点向左(右)平移个单位长度,得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象才能正确解答此题.
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【题目】已知t为实数,函数f(x)=2loga(2x+t﹣2),g(x)=logax,其中0<a<1.
(1)若函数y=g(ax+1)﹣kx是偶函数,求实数k的值;
(2)当x∈[1,4]时,f(x)的图象始终在g(x)的图象的下方,求t的取值范围;
(3)设t=4,当x∈[m,n]时,函数y=|f(x)|的值域为[0,2],若n﹣m的最小值为 ,求实数a的值.
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【题目】设命题p:x2﹣4ax+3a2<0(其中a>0,x∈R),命题q:﹣x2+5x﹣6≥0,x∈R.
(1)若a=1,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
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【题目】对于函数f(x),若在定义域内存在实数x,满足f(﹣x)=﹣f(x),则称f(x)为“局部奇函数”. (I) 已知二次函数f(x)=ax2+2bx﹣3a(a,b∈R),试判断f(x)是否为“局部奇函数”?并说明理由;
(II) 设f(x)=2x+m﹣1是定义在[﹣1,2]上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围;
(III) 设f(x)=4x﹣m2x+1+m2﹣3,若f(x)不是定义域R上的“局部奇函数”,求实数m的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)定义在区间(﹣1,1)内,对于任意的x,y∈(﹣1,1)有f(x)+f(y)=f( ),且当x<0时,f(x)>0.
(1)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性,并加以证明;
(2)若f(﹣ )=1,求方程f(x)+ =0的解.
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【题目】如图,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(1,2),A(x1 , y1),B(x2 , y2)均在抛物线上.
(1)求该抛物线方程;
(2)若AB的中点坐标为(1,﹣1),求直线AB方程.
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