Question

16．（1）已知双曲线的焦点在y轴，实轴长与虚轴长之比为2：3，且经过P（$\sqrt{6}$，2），求双曲线方程．
（2）已知焦点在x轴上，离心率为$\frac{5}{3}$，且经过点M（-3，2$\sqrt{3}$）的双曲线方程．

Answer 1

分析 （1）设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），由条件可得a，b的方程组，解方程可得a，b，进而得到所求方程；
（2）设所求双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0），运用离心率公式，以及代入法，得到a，b的方程，解方程，可得a，b，进而得到所求双曲线方程．

解答 解：（1）设双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
依题意可得3a=2b且$\frac{4}{{a}^{2}}$-$\frac{6}{{b}^{2}}$=1，
解得a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，b=$\sqrt{3}$，
故所求双曲线方程为$\frac{3}{4}$y²-$\frac{1}{3}$x²=1．
（2）设所求双曲线方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）．
∵e=$\frac{5}{3}$，∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=1+$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{25}{9}$，∴$\frac{b}{a}$=$\frac{4}{3}$．
由题意可得$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{12}{{b}^{2}}$=1，解得a=$\frac{3}{2}$，b=2，
∴所求的双曲线方程为$\frac{4{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

点评 本题考查双曲线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查方程思想，化简整理运算能力，属于中档题．