Question

（本小题满分12分）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．
（1）用表示，并求的最大值；
（2）求证：（）．

Answer 1

（1）设与在公共点处的切线相同．
，，由题意，．
即由
得：，或（舍去）．        
即有．
令，则．于是
当，即时，；
当，即时，．
故在为增函数，在为减函数，
于是在的最大值为．（2）
设，
则．
故在为减函数，在为增函数，
于是函数在上的最小值是．
故当时，有，即当时，
19.经检验,以上所得椭圆的四个顶点无法取到,
故交点轨迹E的方程为
（2）设，则由知，.
将代入得，
即，
若与椭圆相切,则，即;
同理若与椭圆相切,则.
由与与轨迹E都只有一个交点包含以下四种情况:
[1]直线与都与椭圆相切,即,且,消去得，即，
从而，即;
[2]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;
[3]直线过点,而与椭圆相切,此时,解得;
[4] 直线过点,而直线过点,此时
综上所述,h的值为

略