Question

设x，y满足

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+k≥0(k＜0)

若z=4x²+y²的最小值为25，则

k=-7

．

Answer 1

分析：根据已知条件实数x，y满足，令u=2x，v=y，将已知的可行域，转化为

u-v-1≥0 2u-v-6≤0 u+v+k≥0

，目标函数变为z=u²+v²，将4x²+y²的最小值转化为可行域中的点到原点最小距离的平方，其实质z就是圆半径的平方，列出等式从而求出k值；

解答：解：∵设x，y满足

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+k≥0(k＜0)

，可以令u=2x，v=y，将可行域

2x-y-1≥0 4x-y-6≤0 2x+y+k≥0(k＜0)

，
转化为

u-v-1≥0 2u-v-6≤0 u+v+k≥0

，目标函数z=u²+v²，画出可行域：

可得B（

1-k

2

，

-k-1

2

）
∵z=4x²+y²=u²+v²，的最小值为25，也即点B到原点的距离的平方等于25，
∴(

1-k

2

)2+(

-k-1

2

)2=25，解得k=±7，∵k＜0，
∴k=-7，
故答案为k=-7；

点评：本题只是直接考查线性规划问题，跟以前做的不一样需要换元转化，因为z=4x²+y²不是标准的圆，我们要转化为可行域中的点到圆心的距离，近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点，数形结合是数学思想的重要手段之一．