Question

（文）椭圆具有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的焦点，长轴长为2a，焦距为2c，静放在点A的小球（小球的半径忽略不计）从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是

4a或2（a-c）或2（a+c）

．

Answer 1

分析：可假设长轴在x轴，短轴在y轴，设A为左焦点，B是它的右焦点，对球的运动方向分沿x轴向左直线运动，沿x轴向右直线运动，及球从A不沿x轴，斜向上（或向下）运动，讨论即可．

解答：解：假设长轴在x轴，短轴在y轴，设A为左焦点，B是它的右焦点，以下分为三种情况：
（1）球从A沿x轴向左直线运动，碰到左顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2（a-c）；
（2 ）球从A沿x轴向右直线运动，碰到右顶点必然原路反弹，这时第一次回到A路程是2（a+c）；
（3）球从A不沿x轴斜向上（或向下）运动，碰到椭圆上的点C，反弹后经过椭圆的另一个焦点B，再弹到椭圆上一点D，经D反弹后经过点A．
此时小球经过的路程是4a．
综上所述，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a或2（a-c）或2（a+c）．
故答案为：4a或2（a-c）或2（a+c）．

点评：本题考查椭圆的简单性质，正确理解题意，分三种情况讨论是关键，也是难点，属于中档题．