Question

15．在直线L：3x-y-1=0上求一点P，使它到点A（4，1）的距离最短．

Answer 1

分析 根据题意可知，当过点A的直线与已知直线垂直时，两直线的交点到点A的距离最短，所以根据已知直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为-1，求出过点A直线的斜率，又根据点A的坐标和求出的斜率写出该直线的方程，然后联立两直线的方程得到一个二元一次方程组，求出方程组的解即可得到点P的坐标．

解答 解：根据题意可知：所求点即为过A点垂直于已知直线的交点，
因为已知直线3x-y-1=0的斜率为3，所以AP点垂直于已知直线的斜率为-$\frac{1}{3}$，
又A（4，1），
则该直线的方程为：y-1=-$\frac{1}{3}$（x-4）即x+3y-7=0，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+3y-7=0}\\{3x-y-1=0}\end{array}\right.$，解得x=1，y=-2，
则直线1：3x-y-1=0上到点A（4，1）距离最近的点的坐标是（1，-2）．

点评 此题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标，是一道中档题．