【题目】如图,在三棱柱中,平面平面,,
分别为棱的中点.
(1)求证: ;
(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】试题分析:(1)连接,易证,结合平面平面可知平面,∴,又,∴平面,从而得证;(2)先证明两两垂直,分别以方向为轴, 轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面与平面的法向量的坐标,代入公式,即可得到所成的锐二面角的余弦值
试题解析:
(1)连接.
∵,
∴是等边三角形.
又为棱的中点,∴.
∵平面平面,平面平面, 平面.
∴平面.
∵平面,∴.
∵,
∴是菱形.
∴.
又分别为的中点,
∴,∴.
又,∴平面.
又平面,∴.
(2)连接,
∵,
∴为正三角形.
∵为的中点,∴.
又∵平面平面,
且平面平面,
平面,
∴平面.
∵两两垂直,
∴分别以方向为轴, 轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.
设.
设平面的一个法向量为,
由,
令,得.即.
由(1),知平面,
∴平面的一个法向量为.
设平面与平面所成的锐二面角大小为,
则,
即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
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【题目】自治区有甲、乙两位航模运动员参加了国家队集训,现分别从他们在集训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下:
甲:82 81 79 78 95 88 93 84 乙:92 95 80 75 83 80 90 85
(I)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,指出学生乙成绩中的位数;
(II)现要从中派一人参加国际比赛,从平均成绩和方差的角度考虑,你认为派哪位学生参加合适?请说明理由.
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【题目】如图,在直三棱柱中,AB=BC,D、E分别为的中点.
(1)证明:ED为异面直线BB1与AC1的公垂线段;
(2)设AB=1, ,求二面角A1—AD—C1的大小.
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【题目】下列说法正确的是( )
A. 有两个平面互相平行,其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱
B. 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形
C. 有两个平面互相平行,其余各面都是梯形的多面体是棱台
D. 棱台的各侧棱延长后不一定交于一点
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【题目】已知抛物线的顶点为坐标原点,焦点在轴的正半轴上,过焦点作斜率为的直线交抛物线于两点,且,其中为坐标原点.
(1)求抛物线的方程;
(2)设点,直线分别交准线于点,问:在轴的正半轴上是否存在定点,使,若存在,求出定点的坐标,若不存在,试说明理由.
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【题目】如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=,AB=BC=AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.
(Ⅰ)证明:CD⊥平面A1OC;
(Ⅱ)当平面A1BE⊥平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36,求a的值.
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【题目】已知点为抛物线内一定点,过作两条直线交抛物线于,且分别是线段的中点.
(1)当时,求△的面积的最小值;
(2)若且,证明:直线过定点,并求定点坐标。
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【题目】已知(, )展开式的前三项的二项式系数之和为16,所有项的系数之和为1.
(1)求和的值;
(2)展开式中是否存在常数项?若有,求出常数项;若没有,请说明理由;
(3)求展开式中二项式系数最大的项.
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