Question

已知a为非负实数，解关于x的不等式ax²-（a+1）x+1＜0．

Answer 1

分析：由a为非负实数，得到a等于0或a大于0，故分两种情况考虑：（i）当a=0时，代入原不等式得到关于x的一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；（ii）当a＞0时，把原不等式左边分解因式，根据不等式对应方程的两个根的大小比较再分三个区间考虑：0＜a＜1，a=1及a＞1，分别比较两根大小，然后根据不等式取解集的方法得到原不等式的解集即可．

解答：（本题8分）
解：由a为非负实数，得到a=0或a＞0，
（i）当a=0时，原不等式即为-x+1＜0，
∴原不等式解集为（1，+∞）；…（2分）
（ii）当a＞0时，不等式变形为（x-1）（ax-1）＜0，
∴不等式对应方程（x-1）（ax-1）=0的两根为1和

1

a

，
当0＜a＜1时，

1

a

＞1，原不等式解集为（1，

1

a

）；…（4分）
当a=1时，

1

a

=1，原不等式解集为∅；…（6分）
当a＞1时，

1

a

＜1，原不等式解集为（

1

a

，1）．…（8分）

点评：此题考查了一元二次不等式的解法，利用了分类讨论及转化的思想，是高考中常考的基本题型．