Question

设函数 
(1)当时，求函数的最大值；
(2)令，（）其图象上任意一点处切线的斜率≤恒成立，求实数的取值范围；
(3)当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

Answer 1

(1) 的极大值为，此即为最大值
(2) ≥
(3)

本试题主要是考查了导数求解函数的最值，以及运用导数的几何意义来表示切线斜率，并能解决不等式的恒成立问题。和方程解的函数与方程思想的综合能力。
解: （1）依题意，知的定义域为（0，+∞），
当时，，
……………2分
令=0，解得．（∵）
因为有唯一解，所以，当时，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减。
所以的极大值为，此即为最大值 ……………4分
(2），，则有≤，在上恒成立，
所以≥，             
当时，取得最大值，所以≥………8分
(3)因为方程有唯一实数解，
所以有唯一实数解，
设，
则．令，．  
因为，，所以（舍去），，
当时，，在（0，）上单调递减，
当时，，在（，+∞）单调递增
当时，=0，取最小值．
则既……………10分
所以，因为，所以（*）
设函数，因为当时，
是增函数，所以至多有一解．
因为，所以方程（*）的解为，即，解得