Question

若任意直线l过点F（0，1），且与函数的图象C于两个不同的点A，B过点A，BC，两切线交于点M
（Ⅰ）证明：点M纵坐标是一个定值，并求出这个定值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥g（x），g（x）=alnx（a＞0），求实数a取值范围；
（Ⅲ）求证：，（其中e自然对数的底数，n≥2，n∈N）．

Answer 1

（本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意知AB的斜率必存在，设AB：y=kx+1，
将其代入得：x²-4kx-4=0，∴x₁x₂=-4…（2分）
∵，∴，
AM：，化简得：AM：y=…①
同理：BM：y=，…②
由①②消去x得：y=…（5分）
（Ⅱ）令F（x）=f（x）-g（x）=，（a＞0，x＞0），
∴F′（x）==
令 F′（x）=0 得x=，
当x∈（0，）时F′（x）＜0，F（x）在x∈（0，）上单调递减；
当x∈（，+∞）时F′（x）＞0，F（x）在x∈（，+∞）上单调递增；
∴F（x）在时取得最小值，…（7分）
要使f（x）≥g（x）恒成立，只需F（）≥0
即 ，解得，又a＞0，∴…（9分）
（Ⅲ）根据（Ⅱ）：取，则有，化简得： …（11分）
分别令x=2，3，4，…，n，得：，，…，
相加：…（13分）
分析：（Ⅰ）设AB：y=kx+1，与抛物线方程联立，求出x₁x₂，利用函数的导数推出AM，BM的斜率，得到它们的方程，然后求出点M纵坐标是一个定值即可；
（Ⅱ）构造F（x）=f（x）-g（x），求出函数的最小值，利用不等式f（x）≥g（x），说明F（x）的最小值大于等于0，即可求实数a取值范围；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）：取，则有，代入x=2，3，4，…，n，即可求证：，（其中e自然对数的底数，n≥2，n∈N）．
点评：本题考查函数与导数的综合应用，利用函数的最值证明不等式，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化数学与计算能力．