Question

5．已知函数f（x）=|x³-1|+x³+ax（a∈R）．
（1）解关于字母a的不等式[f（-1）]²≤f（2）；
（2）若a＜0，求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）关于字母a的不等式[f（-1）]²≤f（2），即 a²-4a-14≤0，由此求得a的范围．
（2）a＜0时，f（x）=|x³-1|+x³+ax=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{3}+ax-1，x≥1}\\{ax+1，x＜1}\end{array}\right.$，分类讨论，再利用导数研究函数的单调性，从而求得求得它的最小值．

解答 解：（1）由于函数f（x）=|x³-1|+x³+ax，关于字母a的不等式[f（-1）]²≤f（2），
即 （1-a）²≤15+2a，即 a²-4a-14≤0，解得 2-2$\sqrt{5}$≤a≤2+2$\sqrt{5}$．
（2）∵a＜0，f（x）=|x³-1|+x³+ax=$\left\{\begin{array}{l}{{2x}^{3}+ax-1，x≥1}\\{ax+1，x＜1}\end{array}\right.$，
若$\frac{-a}{6}$≥1，即a≤-6时，则当x＞1时，f（x）=2x³+ax-1，f′（x）=6x²+a，令f′（x）=0，求得x=$\sqrt{\frac{-a}{6}}$．
故在（1，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）上，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
在（ $\sqrt{\frac{-a}{6}}$，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
当x＜1时，函数f（x）=ax+1，函数单调递减，故f（x）在（-∞，$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）上单调递减，
在（$\sqrt{\frac{-a}{6}}$，+∞）上单调递增，
故函数f（x）的最小值为f（$\sqrt{\frac{-a}{6}}$）=$\frac{2}{3}$a•$\sqrt{\frac{-a}{6}}$-1．
若$\frac{-a}{6}$＜1，即0＞a＞-6时，
则当x＞1时，f（x）=2x³+ax-1，f′（x）=6x²+a，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
当x＜1时，函数f（x）=ax+1，函数单调递减，
故f（x）在（-∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
故f（x）的最小值为f（1）=1+a．
综上可得，f_min（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2a}{3}•\sqrt{\frac{-a}{6}}-1，a≤-6}\\{1+a，-6＜a＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法，利用单调性求函数的最值，属于中档题．