Question

对于△ABC内的任何一点M，为了确定M的具体位置f（M），采用如下记法：f（M）=（x，y，z），x，y，z分别表示△MBC，△MCA，△MAB的面积，现有△ABC满足•=且∠A=30°，设M是△ABC内的一点（不在边界上），当，那么的最小值为________．

Answer 1

18
分析：由向量的数量积公式得||•||•cos∠BAC=2 ，从而||||=4，再由题意得x+y的值，最后利用“1的代换”化简，结合基本不等式求最值即可得答案．
解答：∵•=，∠BAC=30°，
所以由向量的数量积公式得||•||•cos∠BAC=2 ，
∴||||=4，
∵S_△ABC=||•||•sin∠BAC=1，
由题意得，x+y=1-=．
∴=2（ +）（x+y）=2（5++≥2（5+2 ）=18，
等号在x=，y=取到，所以最小值为18．
故答案为：18．
点评：本题考查基本不等式的应用和向量的数量积，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用，属于中档题．