Question

18．已知函数f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求f（$\frac{π}{3}$）的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性求得ω的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）函数f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx=cos2ωx+sin2ωx+1=$\sqrt{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+1，
因为f（x）最小正周期为π，所以$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，
所以f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
f（$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{2}$sin（$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{4}$）+1=$\sqrt{2}$（sin$\frac{2π}{3}$cos$\frac{π}{4}$+cos$\frac{2π}{3}$sin$\frac{π}{4}$）+1=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，可得 kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{π}{8}$，
所以，函数f（x）的单调递增区间为[kπ-$\frac{3π}{8}$，kπ+$\frac{π}{8}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性、单调性，属于基础题．