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设函数是单调减函数,值域为[1+loga(n-1),1+loga(m-1)].
(1)求实数a的取值范围;
(2)求证:2<m<4<n;
(3)若函数的最大值为A,求证:0<A<1.
【答案】分析:(1)充分利用函数与方程的思想,利用函数的单调性和最值将问题转化为方程在某区间上有解,从而得到参数a的范围.
(2)利用二次函数根的分布规律获得参数m、n的分布情况,从而得到对应的不等关系.
(3)利用导数判断单调性的知识从函数单调性入手得到A的取值范围.
解答:解:(1)由题意,得

不相等的实根,
即m,n是关于x的方程ax2+(a-1)x+2(1-a)=0在区间(2,+∞)内的两个
不相等的实根,


且y>0,结合函数y=logax在区间(0,+∞)内是单调减函数,

值域为[1+loga(n-1),1+loga(m-1)].
故实数a的取值范围是区间(8分)
(2)令h(x)=ax2+(a-1)x+2(1-a)
.由于h(2)=4a+2(a-1)+2(1-a)=4a>0,
h(4)=16a+4(a-1)+2(1-a)=18a-2<0,
所以2<m<4<n.(12分)
(3)因为函数,所以,当x>2时,

因为lna<0,所以当x∈[m,4)时,g'(x)>0,即g(x)在区间[m,4]上是单调增函数;
当x∈(4,+∞)时,g'(x)<0,即g(x)在区间[4,n]上是单调减函数;


所以0<A<1.(16分)
点评:本题充分考查了对数函数的单调性、对是函数的值域与最值以及导数知识的综合应用.在题中函数与方程的思想、分类讨论的思想、转化的思想、数形结合的思想都得到了深入的考查.
练习册系列答案
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