Question

10．有下列叙述；
①若f（x）=|x-1|+|x+a|为区间[-3，b]上的偶函数，则a+b=4；
②若关于x的方程x²-（2k+1）x+k²=0有两个大于1的实数根，则k的取值范围为（2，+∞）；
③已知函数f（x）=x|x|，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞）；
④已知A和B是单位圆O上的两点，∠AOB=$\frac{2}{3}$π，点C在劣弧$\widehat{AB}$上，若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，其中x，y∈R，则x+y的最大值是2．
其中正确叙述的个数为（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 ①根据绝对值函数的性质以及函数奇偶性的定义和性质进行求解判断，
②构造函数，结合一元二次函数根的分布建立不等式组进行求解判断，
③判断函数的单调性，将不等式恒成立进行转化求解即可．
④利用平面向量数量积的坐标公式进行转化，结合基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：①若f（x）=|x-1|+|x+a|为区间[-3，b]上的偶函数，
则b=3，
∵|x-1|关于x=1对称，|x+a|关于x=-a对称
∴若函数f（x）是偶函数，
则x=1与x=-a关于y轴对称，则a=1，
则a+b=4；故①正确，
②若关于x的方程x²-（2k+1）x+k²=0有两个大于1的实数根，
令f（x）=x²-（2k+1）x+k²，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=1-（2k+1）+{k}^{2}＞0}\\{-\frac{-（2k+1）}{2}=\frac{2k+1}{2}＞1}\\{△=（2k+1）^{2}-4{k}^{2}≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-2k＞0}\\{2k+1＞2}\\{4k+1≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{k＞2或k＜0}\\{k＞\frac{1}{2}}\\{k≥-\frac{1}{4}}\end{array}\right.$
解得k＞2．则k的取值范围为（2，+∞）；故②正确，
③已知函数f（x）=x|x|，
则当x＜0时，f（x）=-x²递增，当x≥0时，f（x）=x²递增，
函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{x^2}\\{-{x^2}}\end{array}}\right.\begin{array}{l}{（x≥0）}\\{（x＜0）}\end{array}$，在R上是单调递增函数，且满足2f（x）=f（$\sqrt{2}$x），
∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（$\sqrt{2}$x）在[t，t+2]恒成立，
∴x+t≥$\sqrt{2}$x在[t，t+2]恒成立，
即：t≥（$\sqrt{2}$-1）x在 x∈[t，t+2]恒成立，
∴t≥（$\sqrt{2}$-1）（t+2），
解得：t≥$\sqrt{2}$，则实数t的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞）；故③正确，
④若$\overrightarrow{OC}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，
则${\overrightarrow{OC}}^{2}=1=（x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}）^{2}$=${x}^{2}{\overrightarrow{OA}}^{2}+2xy\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}+{y}^{2}{\overrightarrow{OB}}^{2}$=x²-xy+y²=（x+y）²-3xy；
∴（x+y）²-1=3xy，根据向量加法的平行四边形法则，容易判断出x，y＞0，
∴$x+y≥2\sqrt{xy}$，∴$xy≤\frac{（x+y）^{2}}{4}$；
∴$（x+y）^{2}-1≤\frac{3}{4}（x+y）^{2}$，
∴（x+y）²≤4，∴x+y≤2，即x+y的最大值为2．故④正确，
故正确的命题是①②③④，
故选：D

点评 本题主要考查命题的真假判断，涉及的知识点较多，综合性较强．考查学生的运算和推理能力，有一定的难度．