Question

从正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点和各棱的中点中任取两点边成直线，要求所得直线与AC₁垂直，则这样的直线共有________ 条．

Answer 1

27
分析：先根据线面垂直的判定与性质，证出AC₁⊥平面A₁BD，这样得到：平面A₁BD内的直线和平行于平面A₁BD的平面内的直线都与AC₁垂直．由此寻找与平面A₁BD平行的平面，再从中找到直线与AC₁垂直，不难找到符合题意的直线的条数．
解答：∵AA₁⊥平面ABCD，BD⊆平面ABCD，
∴AA₁⊥BD
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD，且AA₁、AC是平面AA₁C₁C内的相交直线
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
∵AC₁⊆平面AA₁C₁C，∴BD⊥AC₁，
同理可得BA₁⊥AC₁，结合线面垂直的判定定理，得AC₁⊥平面A₁BD
因此，平面A₁BD内的直线都与AC₁垂直，
并且平行于平面A₁BD的平面都与AC₁垂直，该平面内的直线都与AC₁垂直，
这样，在△A₁BD中有三条直线与AC₁垂直，在△B₁D₁C中有三条直线与AC₁垂直，在△IJK中有三条直线与AC₁垂直，
在△RST中有三条直线与AC₁垂直，共有3×4=12条直线与AC₁垂直
而在六边形LMNOPQ中，任意两点的连线都AC₁垂直，共=15条直线与AC₁垂直
综上所述，正方体顶点和各棱的中点中任取两点连成直线，与AC₁垂直的直线共12+15=27条
故答案为：27
点评：本题给出正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的顶点和各棱的中点中任取两点连成直线，问与AC₁垂直的直线直线有多少条．着重考查了线面垂直的判定与性质和计数原理等知识，属于基础题．