Question

已知函数y=f（x），x∈N^*，任取m，n∈N^*，均有f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2成立，且f（1）=1，若p²-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，则t的最小值为

-

2

3

．

Answer 1

分析：可以根据f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2，根据递推公式可以求出f（x）的解析式，若p²-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，令g（p）=p²-tp，将问题转化为g（p）的最大值小于等于f（x）的最小值，利用二次函数的性质和图象，求出g（p）和f（x）的最值，从而进行求解；

解答：解：由f（m+n）=f（m）+f（n）+4（m+n）-2
则f（n）=f（n-1+1）
=f（n-1）+f（1）+4n-2
=f（n-1）+4n-1
=f（n-2）+4（n-1）-1+4n-1
=f（1）+4×1+4×2+…+4（n-1）+4n-（n-1）
=1+

4n(n-1)

2

-n+12n²-3n+2
=2n²-3n+2
则f（x）=2x²-3x+2，（x∈N₊）
令g（p）=p²-tp则只需g（p）_max≤f（x）_min，
即可满足p²-tp≤f（x）对任意的p∈[2，3]，x∈[3，+∞）恒成立，
则f（x）的对称轴为x=

3

4

，x∈[3，+∞）
则f（x）在[3，+∞）上是增函数，∴f（x）_min=f（3）=11，
而g（p）的对称轴p=

t

2

，p∈[2，3]，
若

t

2

≤

5

2

，即t≤5，g（p）在p=3处取得最大值，g（p）_max=g（3）=9-3t，
可得9-3t≤11解得t≥-

2

3

，综上-

2

3

≤t≤5；
若

t

2

＞

5

2

，即t＞5，g（p）在p=2处取得最大值，g（p）_max=g（2）=4-2t，
可得4-2t≤11，解得t≥-

7

2

，综上t＞5，
综上可得t≥-

2

3

；t的最小值为-

2

3

，
故答案为-

2

3

；

点评：此题主要考查函数的恒成立问题以及抽象函数的应用，解题的过程中用到了分类讨论的思想和转化的思想，这也是高考的热点问题，此题是一道中档题；