【题目】设,。
(1)求的单调区间;
(2)讨论零点的个数;
(3)当时,设恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1) 的单调递增区间为,单调递减区间为。(2)见解析;(3)
【解析】
(1)直接对原函数求导,令导数大于0,解得增区间,令导数小于0,解得减区间;
(2)先判断是f(x)的一个零点,当时,由f(x)=0得,,对函数求导得的大致图像,分析y=a与交点的个数可得到函数f(x)的零点个数.
(3)不等式恒成立转化为函数的最值问题,通过变形构造出函数h(x)=f(x)-ag(x),通过研究该函数的单调性与极值,进而转化为该函数的最小值大于等于0恒成立,求得a即可.
(1),
当时,,递增,当时,,g(x)递减,
故的单调递增区间为,单调递减区间为.
(2)是f(x)的一个零点,当时,由f(x)=0得,,
,
当时,递减且,
当时,,且时,递减,
时,递增,故,,
大致图像如图,
∴当时,f(x)有1个零点;
当a=e或时,f(x)有2个零点;;
当时, 有3个零点.
(3)h(x)=f(x)-ag(x)=x,
,
设的根为,即有
,可得,时,,递减,
当时,,递增,
,
∴
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,点,直线,设圆的半径为1,圆心在上.
(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,求切线的方程;
(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐标的取值范围.
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【题目】如图,椭圆C:的右焦点为F,过点F的直线l与椭圆交于A、B两点,直线n:x=4与x轴相交于点E,点M在直线n上,且满足BM∥x轴.
(1)当直线l与x轴垂直时,求直线AM的方程;
(2)证明:直线AM经过线段EF的中点.
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【题目】已知椭:()过点,且椭圆的离心率为.过椭圆左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于,两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求线段的垂直平分线的方程;
(3)求三角形的面积.(为坐标原点)
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【题目】已知椭圆:过点和点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设直线与椭圆相交于不同的两点, ,是否存在实数,使得?若存在,求出实数;若不存在,请说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线与曲线两交点所在直线的极坐标方程;
(2)若直线的极坐标方程为,直线与轴的交点为,与曲线相交于两点,求的值.
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