Question

已知函数 f（x）=2+log₃x（1≤x≤9），g（x）=[f（x）]²+f（x²）．
（1）求函数g（x）的解析式及定义域；
（2）求函数g（x）的最大值与最小值及相应的x值．

Answer 1

解：（1）由g（x）=[f（x）]²+f（x²）
=（2+log₃x）²+（2+log₃x²），
得g（x）的解析式为g（x）=log₃²x+6log₃x+6，
由，
得g（x）的定义域为 1≤x≤3．
（2）因为 g（x）=log₃²x+6log₃x+6
=（log₃x+3）²-3（1≤x≤3），
又 0≤log₃x≤1，
所以当log₃x=0，
即x=1时，
g（x）_min=6；
当log₃x=1，
即x=3时，
g（x）_max=13．
分析：（1）由g（x）=[f（x）]²+f（x²）=（2+log₃x）²+（2+log₃x²）得g（x）的解析式为g（x）=log₃²x+6log₃x+6，由此能求出g（x）的定义域．
（2）因为 g（x）=log₃²x+6log₃x+6=（log₃x+3）²-3（1≤x≤3），又 0≤log₃x≤1，所以当log₃x=0即x=1时，g（x）_min=6．由此能求出函数g（x）的最大值与最小值及相应的x值．
点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．