Question

14．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，x∈（1，+∞）．
（1）证明f（x）为增函数
（2）若f（3x）＞f（x+1），求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数单调性的定义证明函数在（1，+∞）上是增函数即可；
（2）根据函数f（x）的单调性求出关于x的不等式组，解出即可．

解答 （1）证明：设x₁、x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，得
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
∵x₁＞1，x₂＞1
∴x₁x₂＞1，得$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$∈（0，1），1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$＞0
又∵x₁＜x₂，得x₁-x₂＜0
∴（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）＜0，可得f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
综上所述，可得：函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上是增函数；
（2）若f（3x）＞f（x+1），
由f（x）在（1，+∞）递增，
则$\left\{\begin{array}{l}{3x＞1}\\{x+1＞1}\\{3x＞x+1}\end{array}\right.$，解得：x＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题给出函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$，要求我们用单调性的定义证明函数在（1，+∞）上是增函数．着重考查了用定义证明函数的单调性的一般方法，属于中档题．