Question

已知点P₁（x₀，y₀）为双曲线

x2

8b2

-

y2

b2

=1（b为正常数）上任一点，F₂为双曲线的右焦点，过P₁作右准线的垂线，垂足为A，连接F₂A并延长交y轴于P₂．
（1）求线段P₁P₂的中点P的轨迹E的方程；
（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x₁，y₁）（y₁≠0），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点．求证：以MN为直径的圆过两定点．

Answer 1

分析：（1）由已知得F2(3b，0)，A(

8

3

b，y0)，则直线F₂A的方程为：y=

3y0

b

(x-3b)，令x=0得P₂（0，9y₀），设P（x，y），则

x= x0 2 y= x0+9y0 2 =5y0

，由此能求出P的轨迹E的方程．
（2）在

x2

2b2

-

y2

25b2

=1中，令y=0得x²=2b²，设B(-

2

b，0)，D(

2

b，0)，直线QB的方程为：y=

y1

x1+ 2 b

(x+

2

b)，直线QD的方程为：y=

y1

x1- 2 b

(x-

2

b)，则M（0，

2 by1

x1+ 2 b

），N（0，

- 2 by1

x1- 2 b

），由此能导出以MN为直径的圆过两定点（-5b，0），（5b，0）．

解答：解：（1）由已知得F2(3b，0)，A(

8

3

b，y0)，则直线F₂A的方程为：y=

3y0

b

(x-3b)，
令x=0得y=9y₀，即P₂（0，9y₀），
设P（x，y），则

x= x0 2 y= x0+9y0 2 =5y0

，即

x0=2x y0= y 5

代入

x02

8b2

-

y02

b2

=1得：

4x2

8b2

-

y2

25b2

=1，
即P的轨迹E的方程为

x2

2b2

-

y2

25b2

=1．
（2）在

x2

2b2

-

y2

25b2

=1中令y=0得x²=2b²，则不妨设B(-

2

b，0)，D(

2

b，0)，
于是直线QB的方程为：y=

y1

x1+ 2 b

(x+

2

b)，∴直线QD的方程为：y=

y1

x1- 2 b

(x-

2

b)，
则M（0，

2 by1

x1+ 2 b

），N（0，

- 2 by1

x1- 2 b

），
则以MN为直径的圆的方程为：x2+(y-

2 by1

x1+ 2 b

)•(y+

2 by1

x1- 2 b

)=0，
令y=0得：x2=

2b2y12

x12-2b2

，而Q（x₁，y₁）在

x2

2b2

-

y2

25b2

=1上，则x12-2b2=

2

25

y12，
于是x=±5b，即以MN为直径的圆过两定点（-5b，0），（5b，0）．

点评：本题考查轨迹方程的求法和求证以MN为直径的圆过两定点．解题时要要认真审题，熟练掌握圆锥曲线的性质，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．