Question

已知函数f（x）=x³-2x，其中a-1≤x≤a+1，a∈R，设集合M={（m，f（n））|m，n∈[a-1，a+1]|}，若f（x）单调递增，则S的最小值为

 

．

Answer 1

分析：先研究函数的性质，是奇函数且x＞

2 3

=

6

3

时，f（x）单调递增．再将面积表达出来，进而可求出S的最小值．

解答：解：f（x）=x³-2x=x（x²-2）=0∴x=-

2

或0或

2

∵f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数．
?0＜x₁＜x₂f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（x₁²+x₁x₂+x₂²-2）＞（x₁-x₂）（3x₁²-2）
当x＞

2 3

=

6

3

时，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x）单调递增．
由对称性画出草图n∈[a-1，a+1]
∵1＜

2 6

3

＜2，
∴m∈[a-1，a+1]，f（n）为n∈[a-1，a+1]时的值域的长度d．要使f（n）的值域最小当a-1＜-

6

3

＜

6

3

＜a+1时f（n）的值域最小，则d=f(-

6

3

)-f(

6

3

)=

8

9

6

S=2d=

16

9

6

，
故答案为

16

9

6

．

点评：本题求解的关键是利用具体函数，研究出函数所具有的性质，进而研究面积S的最小值