Question

【题目】已知圆C：（x+1）2+y2=8，点A（1，0），P是圆C上任意一点，线段AP的垂直平分线交CP于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）若直线l：y=kx+m与曲线E相交于M，N两点，O为坐标原点，求△MON面积的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点Q 在线段AP 的垂直平分线上，∴|AQ|=|PQ|．

又|CP|=|CQ|+|QP|=2 ，∴|CQ|+|QA|=2 ＞|CA|=2．

∴曲线E是以坐标原点为中心，C（﹣1，0）和A（1，0）为焦点，长轴长为2 的椭圆．

设曲线E 的方程为 =1，（a＞b＞0）．

∵c=1，a= ，∴b2=2﹣1=1．

∴曲线 E的方程为

（2）解：设M（x1，y1），N（x2，y2）．

联立 消去y，得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0．

此时有△=16k2﹣8m2+8＞0．

由一元二次方程根与系数的关系，得x1+x2= ，x1x2= ，．

∴|MN|= =

∵原点O到直线l的距离d= ﹣，

∴S△MON= = ． ，由△＞0，得2k2﹣m2+1＞0．

又m≠0，

∴据基本不等式，得S△MON= ． ≤ = ，

当且仅当m2= 时，不等式取等号．

∴△MON面积的最大值为

【解析】（1）根据椭圆的定义和性质，建立方程求出a，b即可．（2）联立直线和椭圆方程，利用消元法结合设而不求的思想进行求解即可．