Question

已知函数f(x)在R上有定义,对任何实数a＞0和任何实数x,都有f(ax)=af(x).

(1)证明f(0)=0;

(2)证明其中k和h均为常数;

(3)当(2)中的k＞0时,设g(x)=+f(x)(x＞0),讨论g(x)在(0,+∞)内的单调性并求极值.

Answer 1

证明:(1)令x=0,则f(0)=af(0),∵a＞0,∴f(0)=0.

(2)①令x=a,∵a＞0,∴x＞0,则f(x²)=xf(x).

假设x≥0时,f(x)=kx(k∈R),则f(x²)=kx²,而xf(x)=x·kx=kx²,

∴f(x²)=xf(x),即f(x)=kx成立.

②令x=-a,∵a＞0,∴x＜0,f(-x²)=-xf(x).

假设x＜0时,f(x)=hx(h∈R),

则f(-x²)=-hx²,而-xf(x)=-x·hx=-hx²,

∴f(-x²)=-xf(x),即f(x)=hx成立.

∴f(x)=成立.

(3)当x＞0时,g(x)=+kx,

g′(x)=,

令g′(x)=0,得x=1或x=-1;

当x∈(0,1)时,g′(x)＜0,∴g(x)是单调递减函数;

当x∈［1,+∞)时,g′(x)＞0,∴g(x)是单调递增函数.

∴当x=1时,函数g(x)在(0,+∞)内取得极小值,极小值为g(1)=+k.